ArtStudies/M2/Time Series/TD1.qmd

# Import des données

```{r}
library(tseries)

setwd("./M2/Time Series")

data = read.csv2('./data/TD1.csv')
data_series = ts(data)
```

# Graphique

```{r}
plot(
  data_series,
  main = "Exemple de série temporelle",
  ylab = "Valeurs",
  xlab = "Temps",
  col = "blue",
  type = "o"
)

acf(data, main = "Fonction d'Autocorrélation (ACF)")
```

## 1. Analyse de la série temporelle (Time Plot)

-   Tendance : Il y a une tendance linéaire croissante extrêmement claire et forte sur toute la période (de `t=0` à `t=100`). La moyenne de la série augmente de façon constante, ce qui confirme une non-stationnarité pure.

-   Saisonnalité : Nous observons des oscillations très régulières en forme de "dents de scie". La répétition systématique de ces motifs indique une composante saisonnière forte.

-   Variabilité : L'amplitude des oscillations semble ici rester constante par rapport à la tendance (modèle additif).

## 2. Analyse de la Fonction d'Autocorrélation (ACF)

-   Profil de Non-Stationnarité : Nous observons une décroissance très lente et linéaire des pics. Même au lag 20, la corrélation reste très élevée (environ `0.4`), bien au-dessus de la zone de significativité bleue. C'est la signature typique d'une série avec une tendance non traitée.

-   Saisonnalité de période 2 : les retards pairs (2,4,6...) sont systématiquement plus élevés que les retards impairs (1,3,5...).

    -   Le pic au lag 2 est particulièrement fort, presque au même niveau que le lag 1.
    -   Cela confirme que la valeur à l'instant `t` est très fortement corrélée à la valeur à `t−2`.

# Lag plot

```{r}
lag.plot(
  data_series,
  lags = 4,
  do.lines = FALSE,
  main = "Lag-Plot"
)
```

## 1. Analyse par retard (Lag)

-   Lag 2 et Lag 4 (Forte corrélation positive) : Les nuages de points pour les retards pairs sont extrêmement resserrés autour de la première bissectrice (la ligne pointillée). Cela signifie que la valeur à l'instant `t` est presque parfaitement prédite par la valeur à `t−2` et `t−4`. Cela confirme la saisonnalité de péridoe `2`.

-   Lag 1 et Lag 3 (Dispersion organisée) : Pour les retards impairs, nous observons deux "nuages" ou une dispersion plus large. Cela traduit l'oscillation "haut-bas" : une valeur haute est suivie d'une valeur basse, créant cet écart par rapport à la ligne d'identité.

## 2. Relation avec la tendance

L'alignement global de tous les lags le long d'une diagonale ascendante confirme la tendance déterministe. Même avec le "bruit" saisonnier, la valeur globale `Y_t`​ augmente proportionnellement à `Y_{t−k}`​. C'est ce qui expliquait la p-value de `0.581` à l'ADF : la série ne revient jamais vers une moyenne centrale, elle "s'échappe" vers le haut.

# Saisonnalité

```{r}
kpss_test_result <- kpss.test(data_series)
print(kpss_test_result)

adf_test_result <- adf.test(data_series)
print(adf_test_result)
```

## 1. Analyse du test ADF (Augmented Dickey-Fuller)

-   Hypothèse nulle (`H0​`) : La série est non stationnaire.

-   Résultat : La p-value est de `0.581`.

-   Interprétation : Étant donné que la p-value est très supérieure au seuil classique de `0.05`, nous conservons `H0`. La série est donc considérée comme non stationnaire par l'ADF.

## 2. Analyse du test KPSS

-   Hypothèse nulle (`H0​`) : La série est stationnaire.

-   Résultat : La statistique de test est très élevée (`2.0282`) et la p-value est de `0.01`.

-   Interprétation : La p-value est inférieure à `0.05`, nous rejetons donc l'hypothèse de stationnarité. Le test KPSS confirme que la série n'est pas stationnaire.

## Conclusion croisée

| Test | Hypothèse Nulle (`H0​`) | Résultat | Conclusion statistique |
|------------------|------------------|------------------|------------------|
| ADF | Non stationnaire | Non rejetée (`p=0.58`) | La série n'est pas stationnaire |
| KPS | Stationnaire | Rejetée (`p=0.01`) | La série n'est pas stationnaire. |

# Correction de la saisonnalité

## Lag 1

```{r}
serie_diff = diff(data_series)

plot(serie_diff, type = "l")
acf(serie_diff, main = "ACF de la série différenciée lag 1")
```

### Pourquoi la différenciation d=1 a "échoué" ?

Le graphique ACF de la série différenciée montre des pics à `-0.9` (lag 1) et `+0.85` (lag 2). Le Lag-Plot explique pourquoi : en faisant `Y_t​−Y_{t−1}`​, la pente est supprimée, mais l'oscillation `S=2` est transformée en une alternance de signes massive.

**Verdict final** : Pour modéliser proprement cette série, nous ne pouvons pas nous contenter d'un modèle ARIMA classique. Nous devons utiliser la différence saisonnière : diff(data_series, lag = 2).

## Lag 2

```{r}
serie_diff_2 <- diff(data_series, lag = 2)

plot(serie_diff_2, type = "l")
acf(serie_diff_2, main = "ACF de la série différenciée lag 2")
```

### 1. Disparition de la non-stationnarité

-   Observation : Contrairement aux ACF précédentes qui affichaient des pics massifs et persistants, celle-ci chute immédiatement vers zéro dès le premier retard.

-   Conclusion : La série résultante est désormais stationnaire. La moyenne et la variance sont stabilisées.

### 2. Élimination de la structure saisonnière `S=2`

-   Observation : L'alternance parfaite "haut-bas" (pics à `+0.8`/`-0.9`) que nous voyions après la différenciation classique (`diff(x)`) a totalement disparu.

-   Interprétation : En appliquant `diff(x, lag = 2)`, nous avons retiré à chaque point sa valeur correspondante au cycle précédent. Cela a "neutralisé" l'oscillation déterministe de période 2.

### 3. Identification des résidus (Bruit Blanc ?)

-   Pic au Lag 2 : Nous observons un pic négatif significatif au lag 2. Cela suggère qu'il reste une petite dépendance de type `MA(1)` saisonnier ou `MA(2)`.

-   Reste du graphique : Pour tous les autres retards, les pics sont situés à l'intérieur des bandes de confiance bleues.

-   Conclusion : La série est maintenant très proche d'un bruit blanc. Les résidus sont quasi-indépendants, ce qui est l'objectif ultime avant de valider un modèle de prévision.

## Moyenne

```{r}
t.max = length(data_series)
serie_moy = ts((data_series[1:(t.max - 1)] + data_series[2:t.max]) / 2)

plot(serie_moy, type = "l")
acf(serie_moy, main = "ACF de la série moyenne")
```

### 1. Analyse de la série temporelle (serie_moy)

-   Lissage de la saisonnalité : L'effet le plus frappant est la disparition presque totale des dents de scie (l'oscillation "haut-bas" de période 2). En moyennant deux points consécutifs, nous avons annulé les variations saisonnières de court terme pour ne laisser apparaître que la composante de tendance.

-   Allure de la tendance : La série montre une croissance qui n'est pas strictement linéaire mais légèrement curviligne (quadratique). On observe une accélération de la pente à mesure que le temps progresse.

-   Stationnarité : La série n'est toujours pas stationnaire. La moyenne augmente de façon continue avec le temps (environ de 100 à 1100).

### 2. Analyse de l'ACF de la série moyenne

-   Disparition de l'alternance : On ne voit plus l'oscillation caractéristique (pics positifs/négatifs) tous les deux lags. Cela prouve mathématiquement que la saisonnalité de période 2 a été filtrée avec succès par la moyenne mobile.

-   Profil de "Trend" pur : L'ACF décroît de manière très lente, régulière et presque linéaire. C'est la signature typique d'une série dont la seule source de non-stationnarité restante est la tendance.

-   Persistance : Même au lag 15, l'autocorrélation reste très élevée (\>0.5). Cela confirme que la série a une "mémoire" longue induite par sa dérive déterministe.

## Synthèse des corrections

| Caractéristique | Série Brute | Différenciation Lag 1 (`diff(x)`) | Différenciation Lag 2 (`diff(x, 2)`) | Série Moyenne (`serie_moy`) |
|:--------------|:--------------|:--------------|:--------------|:--------------|
| **Allure Visuelle** | Tendance ascendante forte + oscillations en "dents de scie". | Moyenne stabilisée mais oscillations "haut-bas" amplifiées. | Série stationnaire, ressemble à un bruit blanc avec peu de structure. | Courbe lisse montrant la tendance (sans les oscillations). |
| **Stationnarité** | **Non** (moyenne mobile dans le temps). | **Partielle** (moyenne stable mais forte dépendance cyclique). | **Oui** (la plus proche de la stationnarité complète). | **Non** (la tendance est toujours présente). |
| **Profil ACF** | Décroissance linéaire très lente. | Alternance parfaite de pics positifs/négatifs ($S=2$). | Chute immédiate vers 0 après le lag 2. | Décroissance lisse et très lente. |
| **Saisonnalité** | Présente (période 2) mais masquée par la tendance. | **Exacerbée** : l'alternance devient la structure dominante. | **Éliminée** : le cycle de période 2 est neutralisé. | **Filtrée** : les variations de court terme sont lissées. |
| **Usage Typique** | Observation initiale des données. | Suppression d'une tendance linéaire simple. | Traitement d'une tendance + saisonnalité de période 2. | Isolation de la tendance pour une régression polynomiale. |

# Régression polynomiale

```{r}
n <- length(data_series)
time <- 1:n

data_deseas <- (data_series[2:n] + data_series[1:(n - 1)]) / 2
time_deseas <- time[2:n]

model_poly <- lm(data_deseas ~ time_deseas + I(time_deseas^2))

summary(model_poly)

plot(
  time,
  data_series,
  type = "l",
  col = "gray",
  lty = 2,
  main = "Ajustement Polynomial (d=2)",
  xlab = "Temps",
  ylab = "Valeurs"
)
lines(time_deseas, data_deseas, col = "blue", lwd = 2)
lines(time_deseas, fitted(model_poly), col = "red", lwd = 2)

plot(
  time_deseas,
  resid(model_poly),
  type = "l",
  col = "darkred",
  main = "Résidus du modèle",
  xlab = "Temps",
  ylab = "Résidus"
)
abline(h = 0, col = "black", lty = 2)
```

# Résidus

```{r}
residus <- residuals(model_poly)

plot(
  time_deseas,
  residus,
  type = "l",
  col = "darkgreen",
  main = "Série des résidus",
  xlab = "Temps",
  ylab = "Résidus"
)
abline(h = 0, col = "red", lty = 2)

acf(residus, main = "ACF des résidus")
```

## Série des résidus

Ce graphique représente l'erreur de prédiction (`e_t​=y_t​−y^​t`​) au cours du temps.

-    Comportement : La série oscille de manière erratique autour de la ligne horizontale rouge pointillée (l'ordonnée 0).

-    Moyenne : Le fait que les résidus soient centrés sur zéro indique que votre régression polynomiale de degré 2 a correctement capturé la tendance globale de la série.

-    Variance : L'amplitude des fluctuations semble rester dans un tunnel constant (approximativement entre `-60` et `+70`), ce qui suggère une certaine stabilité de la variance (homoscédasticité).

-    Saisonnalité : On ne distingue plus le motif en "dents de scie" très marqué de la série brute, ce qui confirme l'efficacité du filtrage par la série moyenne.

## ACF des résidus

Ce graphique (la fonction d'autocorrélation) mesure la corrélation des résidus avec leurs propres valeurs passées.

-    Pic au Lag 0 : Il est toujours égal à `1.0` (corrélation parfaite d'une valeur avec elle-même), on ne l'interprète pas pour le diagnostic.

-    Le pic au Lag 1 : On observe une barre verticale qui dépasse nettement la ligne pointillée bleue supérieure. Cela indique une autocorrélation positive significative au premier retard.

-    Signification statistique : Les lignes pointillées bleues représentent l'intervalle de confiance à 95 % pour un bruit blanc. Puisque le pic au retard 1 sort de cet intervalle, vos résidus ne sont pas encore totalement indépendants (ce n'est pas encore un "bruit blanc" pur).

-    Lags supérieurs : Au-delà du premier retard, les autres pics (2, 3, etc.) rentrent dans la zone de non-significativité, ce qui montre que la dépendance est à très court terme.

# Stationnarité des résidus


```{r}
kpss_test_result <- kpss.test(residus)
print(kpss_test_result)

adf_test_result <- adf.test(residus)
print(adf_test_result)
```

## 1. Test ADF (Augmented Dickey-Fuller)

-    Hypothèse nulle (`H0​`) : La série est non stationnaire.

-    Résultat : La p-value est de `0.01` (indiquée comme inférieure à la valeur affichée par le warning).

-    Interprétation : On rejette `H0​`. Il y a des preuves statistiques fortes que la série des résidus est stationnaire.

## 2. Test KPSS

-    Hypothèse nulle (`H0​`) : La série est stationnaire.

-    Résultat : La p-value est de `0.1`.

-    Interprétation : On ne rejette pas `H0​`. Le test conclut que la série est stationnaire.

## Synthèse

| Test | Hypothèse nulle ($H_0$) | p-value | Décision |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| **ADF** | Non stationnaire | 0.01 | Rejet de $H_0$ |
| **KPSS** | Stationnaire | 0.10 | Échec du rejet de $H_0$ |