```{r}
n = 100
Z = sample.int(3, n, replace=T)
```

```{r}
mu1 = -3
mu2 = 0
mu3 = 1
sigma12 = 1
sigma22 = 1
sigma32 = 0.03
X = rnorm(n, mu1, sqrt(sigma12))
X[Z == 2] = rnorm(sum(Z == 2), mu2, sqrt(sigma22))
X[Z == 3] = rnorm(sum(Z == 3), mu3, sqrt(sigma32))
```

```{r}
plot(density(X, bw = 0.1), ylim = c(0, 0.85), main = 'Estimation de la densité')
rug(X)
x = seq(-6, 2, length.out = 100)
points(
  x,
  (dnorm(x, mu1, sqrt(sigma12)) +
    dnorm(x, mu2, sqrt(sigma22)) +
    dnorm(x, mu3, sqrt(sigma32))) /
    3,
  type = 'l',
  col = 'darkgreen'
)
legend(
  'topleft',
  c('Vraie densité', 'Estimation'),
  lty = c(1, 1),
  col = c('darkgreen', 1))
```

La valeur 0. semble donner une meilleure estimation.

```{r}
plot(
  density(X, bw = 'SJ'),
  ylim = c(0, 0.85),
  main = 'Estimation de la densité'
)
lines(density(X, bw = 'ucv'), col = 2)
lines(density(X, bw = 'bcv'), col = 4)

rug(X)
x = seq(-6, 2, length.out = 100)
points(
  x,
  (dnorm(x, mu1, sqrt(sigma12)) +
    dnorm(x, mu2, sqrt(sigma22)) +
    dnorm(x, mu3, sqrt(sigma32))) /
    3,
  type = 'l',
  col = 'darkgreen'
)
legend(
  'topleft',
  c('Vraie densité', 'SJ', 'ucv', 'bcv'),
  lty = rep(1, 4),
  col = c('darkgreen', 1, 2, 4))
```

La validation croisée non biaisée (UCV) semble donner les meilleurs résultats..

```{r}
kmax = 50
H = (1:kmax)^2 / (n * sqrt(2 * pi))
hmin = min(H)
p = 5000
fhat = matrix(NA, kmax, p)
fhatmin = density(X, bw = hmin, n = p)
x = fhatmin$x
fhat[1, ] = fhatmin$y
for (j in 2:kmax) {
  fhat[j, ] = density(X, bw = H[j], n = p)$y
}
# Calcul du critere PCO
b = rep(NA, kmax)
v = rep(NA, kmax)
crit = rep(NA, kmax)
for (k in 1:kmax) {
  b[k] = mean((fhat[k, ] - fhat[1, ])^2)
  v[k] = 2 * mean(dnorm(x, sd = hmin) * dnorm(x, sd = H[k])) / n
  crit[k] = b[k] + v[k]
}
khat = which.min(crit)
hhat = H[khat]
fhhat = fhat[khat, ]
plot(
  x,
  fhhat,
  main = paste("Minimum atteint pour h=", signif(hhat, 2)),
  xlab = 't',
  ylab = expression(hat(f)[hat(h)]),
  type = 'l'
)
points(
  x,
  (dnorm(x, mu1, sqrt(sigma12)) +
    dnorm(x, mu2, sqrt(sigma22)) +
    dnorm(x, mu3, sqrt(sigma32))) /
    3,
  type = 'l',
  col = 'darkgreen',
  lwd = 2
)
```

```{r}
plot(density(precip, bw = 'ucv'))
rug(precip)
```

Les données sont bimodales. On décèle deux groupes de villes : un groupe avec des précipitations situées autour de 15 inches avec une grande dispersion et un autre groupe avec des précipitations moyennes situées autours de 40 inches.

```{r}
plot(density(faithful[, 1], bw = 'ucv'))
rug(faithful[, 1])
```

On distingue là aussi deux groupes : un groupe de geysers ayant un temps d'éruption autour de 2 mins et un autre 4 mins/4 mins 30. La règle du pouce donne ds estimateurs très différents de la validation croisée et de la méthode de Sheather et Jones.